Архив за етикет: ЗЕНОН

ЗЕНОН от Елея

1 отговор

Ζήνων ὁ Ἐλεάτης

ЖИВОТ

Зенон е роден около 490 г. пр.н.е. в гръцкия град-държава Елея, сега Велия, на западния бряг на днешна Южна Италия, и умира около 430 г. пр.н.е. Той е бил приятел и ученик на Парменид, който е бил с двадесет и пет години по-възрастен и също е живял в Елея. Зенон не е бил математик. Има малко допълнителна и надеждна информация за живота на Зенон. Плутарх твърди, че Зенон е посетил Атина. По-рано Платон отбелязва (в Парменид 127b), че Парменид е завел Зенон в Атина, където той се срещнал със Сократ, който е бил с около двадесет години по-млад от Зенон. Но съвременните учени смятат, че тази среща вероятно е измислена от Платон, за да направи историята по-интересна. Също така се съобщава, че Зенон е бил арестуван заради това, че е пренасял оръжия на бунтовници, които се противопоставяли на тиранина, управляващ Елея. Когато го попитали за съучастниците му, Зенон казал, че иска да прошепне нещо на тиранина. Но когато тиранинът се приближил, Зенон го ухапал и не го пуснал, докато не бил намушкан. Диоген Лаерций разказва тази апокрифна история седемстотин години след смъртта на Зенон.

ТРАКТАТЪТ

Според коментара на Платон в Парменид (127a до 128e), Зенон е донесъл трактат със себе си, когато е посетил Атина. Казва се, че това е била книга с парадокси, защитаваща философията на Парменид. Платон (427–347 г. пр.н.е.) и Аристотел може би са имали достъп до книгата, но Платон не е изложил нито един от аргументите, а представянията на Аристотел са много сбити. Много векове по-късно гръцките философи Прокъл (412–485 г. от н.е.) и Симплиций (490–560 г. от н.е.) коментират книгата и нейните аргументи. Те са имали достъп до част от книгата, може би до цялата, но тя не е оцеляла. Прокъл е първият, който ни казва, че книгата е съдържала четиридесет аргумента. Този брой е потвърден от коментатора от VI век Елий, който се смята за независим източник, защото не споменава Прокъл. За съжаление, нямаме конкретни дати за това кога Зенон е създал някой от своите парадокси, и знаем много малко за това как самият Зенон е формулирал своите парадокси. Имаме директен цитат чрез Симплиций на Парадокса за плътността и частичен цитат чрез Симплиций на Парадокса за голямото и малкото. Общо знаем за по-малко от двеста думи, които могат да бъдат приписани на Зенон. Нашето познание за тези два парадокса и останалите седем, обсъдени в тази статия, идва до нас индиректно чрез парафрази на тях и коментари върху тях, основно от неговите четирима опоненти – Аристотел, Платон, Прокъл и Симплиций. Имената на парадоксите са създадени от по-късни коментатори, а не от Зенон. Хиляда години след Зенон, един коментар на Хесихий предполага, че може би е имало още три книги от Зенон освен тази, спомената от Платон, но учените обикновено не приемат това твърдение, защото поне три от имената на книгите, дадени от Хесихий, се смятат за имена на една и съща книга.

Зенон развива учението на Парменид за единното, изключващо за сетивното възприятие всякакво множество на нещата и всякакво тяхно движение. Тъй като елейците са били натурфилософи, философията на Зенон (както и на другите елейци) е материалистична. Въпреки това, тъй като Зенон смята сетивния космос за предмет на неясни усещания, обявявайки за истински предмет на мисленето само непрекъснатото единно битие, този материализъм съдържа в себе си ясно изразени черти на дуалистична метафизика, макар и в доста непоследователна и нестабилна форма. Отричайки всякаква непрекъснатост в сетивното битие, Зенон доказва неговата немислимост изобщо, включително немислимостта на неговото множество и подвижност. От немислимостта на непрекъснатото сетивно битие Зенон извежда непрекъснатостта като предмет на чистото мислене. Аристотел го смята за основател на диалектиката, тъй като Зенон се занимава много с установяването на противоречия в областта на изменчивото множество и, изглежда, е вярвал, че истината се разкрива чрез спор или тълкуване на противоположни мнения (има указания, че Зенон е излагал своето учение в диалогична форма).

Зенон е известен със своите знаменити парадокси (апории), които са създавали трудности не само на древногръцките, но и на съвременните философи. Основният аргумент на Зенон срещу мислимостта на множеството на нещата е необходимостта (в случай на това множество) от едновременното признаване, според него, на нещата като безкрайно малки (тъй като могат да бъдат делени до безкрайност) и безкрайно големи (тъй като няма край на натрупването на все нови и нови части). В числово отношение такива множества от неща биха били също и ограничени (тъй като биха били толкова, колкото са) и неограничени (тъй като към всяко нещо може да се добави още нещо). Тук Зенон пренася логиката на крайните величини върху безкрайността, която е възможна само като единство на противоположностите.

Зенон също така излага аргументи – апории – срещу мислимостта на движението: „Ахил“, „Стрелата“, „Дихотомията“, „Стадият“.

Първият аргумент гласи, че бързоногият Ахил никога не може да настигне най-бавното животно – костенурката, защото при условие на едновременно начало на тяхното движение, в момента, когато Ахил достигне мястото на костенурката, тя вече ще е изминала известно разстояние; и така ще бъде във всички отделни точки от пътя на движението на Ахил и костенурката. Вторият аргумент гласи, че ако летящата стрела е в покой във всеки отделен момент, то тя е в покой и изобщо, т.е. тя не се движи. Още Аристотел, разглеждайки този аргумент, добре разбира, че движението не е просто сума от отделните му моменти или интервали. В аргумента „Дихотомия“ (разделяне на две) Зенон доказва, че за да се премине определен път, трябва да се премине половината от него, а за да се премине половината, трябва да се премине четвърт от този път; а за да се премине четвърт, трябва да се премине 1/8 и т.н. до безкрайност; следователно, за да се премине даден път, е необходимо да се преминат безкраен брой негови отсечки, което би изисквало безкрайно време, т.е. движението изобщо не може да започне. Тук Зенон също не различава мисълта за битието и самото битие (а именно делението в мисълта и фактическото деление), подобно на това, както в аргумента срещу множеството на нещата той не разделя логиката на крайното и логиката на безкрайното. Това обстоятелство също е забелязано от Аристотел. Накрая, Зенон твърди в аргумента „Стадият“: ако две тела се движат едно към друго с еднаква скорост, те ще се срещнат по средата на пътя за определен период от време; ако обаче едното от тях се движи със същата скорост, а другото е в покой, те ще се срещнат за период от време, два пъти по-дълъг; следователно движението, т.е. приближаването на едно тяло към друго, според Зенон, ще бъде различно в зависимост от гледната точка към него, т.е. само по себе си то изобщо не е движение.

Аргументите на Зенон довеждат до криза в древногръцката математика, чието преодоляване е постигнато едва с атомистичната теория на Демокрит. Основната идея на апориите на Зенон (същата като основната идея на Парменид) се състои в това, че прекъснатостта, множествеността и движението характеризират картината на света такава, каквато я възприемат сетивата. Но тази картина е недостоверна. Истинската картина на света се постига чрез мисленето. Опитът да се мисли множествеността води математиката до противоречие. Следователно, множествеността е немислима. Същото важи и за мислимостта на движението. За демонстрация на тези противоречия е използван (грешният) постулат на съвременната за Зенон математика, според който безкрайно голяма сума от много малки събираеми ще бъде безкрайно голяма. Така диалектиката на Зенон се основава на постулата за недопустимост на противоречията в достоверното мислене: появата на противоречия, възникващи при предпоставката за мислимостта на множествеността, прекъснатостта и движението, се разглежда като доказателство за лъжливостта на самата предпоставка и в същото време свидетелства за истинността на противоречащите ѝ положения за единството, непрекъснатостта и неподвижността на мислимото (а не сетивно възприеманото) битие.

Критика на аргументите на Зенон от позициите на идеалистическата диалектика е дадена от Хегел (виж „Лекции по история на философията“).

Апориите на Зенон са важен етап в развитието на античната диалектика, тъй като по същество разкриват диалектичността както във външния свят, така и в мисленето (макар че самият Зенон използва разкриването на противоречивостта на едното и другото с цел да докаже метафизичните идеи на елеатите за единното и неподвижното). Те оказват съществено влияние върху развитието на философията в Новото време (например теорията за антиномиите на Кант) и продължават да играят важна роля в проникването на диалектиката в съвременната математическа логика.

Апориите на Зенон и съвременната наука

Апориите на Зенон не са загубили своето значение и днес, тъй като те се отнасят до основните закони на диалектиката и до сложни проблеми от областта на основите на математиката, свързани с абстракцията на актуалната безкрайност. В същото време при разглеждането на апориите от съвременна гледна точка възникват редица трудности, обусловени от факта, че те са достигнали до нас само чрез коментатори и критици – преди всичко чрез Аристотел, който ги критикува в своята „Физика“ (100 години след тяхното появяване), и чрез коментара на Симплиций към „Физиката“ на Аристотел (написан почти хиляда години след Зенон) – и то под формата на кратки откъси. Затова е трудно да се съди доколко предложените реконструкции на аргументите на Зенон (и в каква степен) са исторически оправдани. Неяснота има дори по въпроса какво точно е искал да докаже или опровергае Зенон. Повечето историци на философията смятат, че апориите е трябвало да докажат невъзможността на движението и съществуването на многото с цел да защитят философията на Парменид. В диалога на Платон „Парменид“ (128 А–В) тази гледна точка изказва младият Сократ, който упреква Зенон, че заблуждава слушателите, като създава впечатление, че казва нещо ново, докато в действителност, ако единият твърди битието на единното, а другият небитието на многото, и двамата казват едно и също. Зенон обаче възразява срещу такова тълкуване на целта на неговите апории (виж там също, С–Д). Той казва, че неговата задача е била да покаже, че във възгледите на противниците на Парменид във всеки случай има не по-малко противоречия, отколкото във възгледите на Парменид.

Не е намерил еднозначно решение и въпросът срещу кого точно е насочен Зенон. Френският историк на математиката П. Танери смята, че Зенон е имал предвид питагорейците; други учени посочват Анаксагор или Хераклит. Обстоятелството, че още в древността елеатите са били наричани „афизици“, т.е. врагове на точната наука – физиката, кара да се мисли, че Зенон е насочвал своята критика срещу всички съществуващи по негово време научни теории за движението и многото. По онова време питагорейците вече са открили несъизмеримостта на диагонала на квадрата с неговата страна, т.е. доказали са несъвместимостта на предположението за съществуването на точен квадрат (или, което е същото, за съществуването на идеални пергел и линия) с представата за всеки отрязък като сума от краен брой неделими величини, различни от нула; Анаксагор пък настоявал, че никакви неделими (включително и с нулева величина) не съществуват (Дилс, Досократици, фрагм. В 3). От достигналите до нас апории на Зенон е ясно също, че по негово време вече са съществували теории, според които крайните величини трябва да се състоят от безкраен брой лишени от величина „неделими“ (точки, моменти). Зенон, следователно, е можел да се занимава с основите на всички теории, отнасящи се до съотношението между непрекъснатото и дискретното и до разбирането на движението, които са занимавали древногръцките учени през цялата история на античната математика и философия.

Започвайки от Аристотел, Плутарх и Сенека, та чак до наши дни, аргументите на Зенон пораждат все нови и нови опити за тяхното опровержение. В същото време редица мислители високо оценяват аргументите на Зенон, които играят значителна роля в историята на философията. В духа на тези аргументи са съставени, например, знаменитите антиномии на Кант. В стремежа си да преодолее аргументите на Зенон, Бергсон в своята философия на интуитивизма твърди, че времето не се състои от моменти, а интервалът от време няма ясни граници.

В наши дни все по-често и по-убедително се появяват забележки от философи и специалисти по основите на математиката, които свидетелстват, че трудностите, отразени в апориите на Зенон, и до днес не могат да се считат за напълно преодолени (виж напр. A. Fraenkel and Y. Bar-Hillel, Foundations of set theory, Amst., 1958, p. 260).

Тъй като задачата за адекватна реконструкция на апориите все още не изглежда еднозначно разрешима, е трудно да се спори дори с такива техни интерпретации, при които те се превръщат в очевидни нелепости. Подобно „опровержение“ на апориите на Зенон обаче не решава действителните трудности, свързани с проблематиката, към която те и историята на породените от тях дискусии се отнасят. Тези трудности са свързани както с апориите от двете групи, на които естествено се подразделят достигналите до нас аргументи на Зенон, така и с тези, които „опровергават“ съществуването на многото (като „много“ се разбира актуално съществуващо: зададено чрез целия набор от своите елементи, т.е. като някаква пълна, завършена съвкупност, а не като „едноместен предикат“ (свойство), удовлетворяващ определени изисквания, както това се прави в много съвременни логико-математически теории), и с тези, които разкриват противоречия, свързани с представянето на движението в логиката на понятията.

Към апориите от първата група се отнасят преди всичко аргументите, които опровергават съществуването на многото на основание, че „Ако [съществуващите неща] са много, то те трябва да са толкова, колкото са – нито повече, нито по-малко. А ако са толкова, колкото са, то [техният брой] е ограничен. [Но] ако съществуващите [неща] са много, то [техният брой] е неограничен: защото винаги съществуват други неща между съществуващите [неща], и отново други между тях. И така [броят] на съществуващите [неща] е неограничен.“ (Симплиций, Физика, 140, 27). (Всяка част от интервала между нещата тук, очевидно, също се счита за нещо; виж думите на Зенон, които привежда Симплиций: Дилс, Досократици, фрагм. В). В основата на полученото в тази апория противоречие (че ако в света има много неща, то техният брой трябва да бъде едновременно и краен, и безкраен) лежи твърдението, че количеството на нещата в актуално завършеното множество трябва да бъде „ограничено“ (крайно). Тази апория в епохата на разцвета на „наивната“ теория на множествата (края на XIX – началото на XX в.) изглеждаше напълно разрешена на основата на понятието за безкрайни кардинални (т.е. количествени) числа или мощности, въведено в математиката през 70-те години от Кантор (виж също Теория на множествата). Въпреки това неконструктивният характер на канторовите актуално-безкрайни множества (и съответстващите им числа) ги направи неприемливи за представителите на съвременните конструктивни направления в математиката.

Аристотел привежда още една апория на Зенон от същия род: „…а именно, ако всичко съществуващо се намира в известно място, то е ясно, че ще има и място на мястото, и така ще продължи до безкрайност.“ С тази апория Аристотел се справя, като отбелязва, че мястото на нещото само по себе си вече не е нещо, което се нуждае от някакво „място“, а е нещо аналогично на състоянието на нещото, подобно на това как едно и също нещо може да бъде и топло, и студено; той обаче не възразява срещу понятието за „място на мястото“, но го разглежда не като „място“, т.е. не като състояние, а като нещо аналогично на свойството на даденото състояние – както например топлото (състояние) притежава свойството „да бъде полезно за здравето“, – поради което въпросът за „мястото на мястото на мястото“ вече не възниква с необходимост. „По този начин няма нужда да се отива до безкрайност“ (Физика., IV, I, 209). Но разсъждения, аналогични на използваните тук от Зенон, се срещат и в съвременните основи на математиката, когато безкрайният ред на естествените числа се поражда от „нищото“ (от празното множество) посредством това, че първо се разглежда празното множество: 0; след това множеството {0}, чийто единствен елемент е празното множество; след това множеството {0, {0}}, чиито елементи са 0 и {0}, и т.н. А възраженията, които се издигат срещу тази процедура в наши дни – например от съвременните номиналисти (Куайн, Гудмен), са сродни на възраженията на Аристотел (състоящи се в това, че „мястото на мястото“ само по себе си не е „място“), тъй като те се основават на това, че не може дори мислено да се обединяват в множество неща, които не съществуват отделно едно от друго (така например не може да се разглежда като отделен обект двойка, състояща се от човек и неговата ръка, докато тази ръка не бъде отделена от човека).

Особено интересна апория, свързана с представата за протяжно тяло (съответно интервал от време) като множество (съвкупност) от непротяжни неделими елементи – точки (съответно, моменти от време). Тъй като точката, лишена от всякакви измерения (съответно моментът от време), е идеализирана математическа абстракция, която на практика е неуловима (никой не е имал опит с точка, лишена от всякакви измерения), „построяването“ (дори теоретично) на реално съществуващо тяло от абстрактни „точки“ естествено предизвиква възражения, особено сред някои материалистически мислещи математици и философи. Така например Лобачевски смята за необходимо да постави в основата на геометрията не точката, а тялото, и определя точката като двойка тела, които се докосват едно до друго по определен начин.

Съответната апория на Зенон представлява въпроса как от нищо може да се създаде (построи) нещо: колкото и пъти да се повтаря нищото, нищо няма да се получи. „Наистина – пише Аристотел – ако нещо, когато се добавя <към някаква вещ> или се отнема <от нея>, не прави <тази вещ> <в първия случай> по-голяма или <във втория> по-малка, тогава, според думите на Зенон, то не принадлежи към числото на съществуващото, като съществуващото очевидно се разбира като величина и следователно – като телесна величина: именно такава величина притежава битие в пълна степен;… точката и единицата (нула) <не създават> (увеличение) при никакви обстоятелства“ (Метафизика., III, 4, 1001 а 29 – в 25). Макар че Аристотел нарича тези разсъждения на Зенон „груби“, той отбелязва веднага, че „все пак [остава въпросът] как от едно подобно неделимо или от няколко такива се получава величина“.

В съвременната литература се срещат опити да се справят с тези трудности, позовавайки се на теоретико-множествената теория на мярката, според която несчетно множество множества с нулева мярка може вече да има ненулева мярка. Затова, според Грюнбаум, съществуването на протяжни тела очевидно трябва да се разглежда като доказателство за съществуването на несчетни актуално-безкрайни множества. Ясно е обаче, че по този начин изобщо не се решават гносеологичните трудности, свързани с неконструктивността на „построяването“ на протяжни обекти под формата на актуално-безкрайни (и при това несчетни) множества от непротяжни елементи. В най-добрия случай тези трудности се приемат за решени за някакви изходни обекти – например за отсечки от вида [0, α], където α ≤ 1, чрез допускането, че на всяка точка от отсечката [0,1] можем да съотнесем реално число, което я отличава от всички други точки на тази отсечка, макар те да са несчетно множество.

От четирите апории на Зенон, свързани с движението, две („Дихотомия“ и „Ахилес“) се отнасят до трудностите, свързани с предположението за неограничена делимост на отсечките от пътя и времето, а другите две („Стрелата“ и „Стадий“) – до трудностите, възникващи, напротив, при предположението за съществуването на неделими отсечки от пътя и атоми на времето („сега“). В „Дихотомията“, според Аристотел, се доказва „…несъществуването на движението на основание, че движещото се тяло трябва първо да достигне до половината, преди да стигне до края…“ (Физика, VI 9, 239 в), поради което движението не може да завърши, тъй като преди да стигне до края, трябва да премине половината от остатъка, и т.н. (В „Лекциите по история на философията“, Хегел излага тази апория като опровергаваща възможността движението да започне, тъй като преди да стигне до половината от пътя, трябва да стигне до половината от тази половина, и т.н.; невъзможността да завърши в такъв случай вече се отнася само до апорията „Ахилес“). Тази апория най-често се тълкува просто като свидетелство, че Зенон все още не е разполагал с математическото понятие за „предел“ (не е умеел да сумира, например, геометрична прогресия 1/2 + 1/4 + 1/8 + …) и е смятал, че „сумата на безкрайно голям (неограничен) брой каквито и да било, макар и изключително малки, протяжни величини задължително трябва да бъде безкрайно голяма“ (Симплиций, Коментари към „Физиката“ на Аристотел, виж Diels, 3), поради което е стигал до заключението, че движението „никога“ няма да завърши, а бързоногият Ахилес няма да настигне костенурката.

В действителност аргументът на Зенон може да се тълкува така: да си представим, че трябва да измерим дължината на някаква отсечка AB и разполагаме с две „единици“ за измерване, първоначално неразличими една от друга, но такива, че ако първата (както и самата отсечка AB) се счита за абсолютно твърда (непроменяща се в процеса на измерване), то втората се оказва такава, която след всяко нейно отлагане върху измерваната отсечка се съкращава наполовина. Нека в резултат на измерването с първата „единица“ отсечката AB се окаже с дължина 2. Тогава е ясно, че в резултат на измерването с втората „единица“ тя ще се окаже безкрайно голяма: колкото и (краен) брой пъти да отлагаме нашата съкращаваща се „единица“ за измерване, ще трябва да я отложим още веднъж, и процесът на измерване никога няма да завърши: точката B в този процес ще бъде недостижима – „безкрайно отдалечена“ точка. (Само по себе си е ясно, че аналогично разсъждение е приложимо не само към отсечката, но и към интервала от време). Именно такъв процес на „измерване“ на отсечка фактически разглежда Зенон. Разликата е в това, че Зенон подчертава, че при всяко непрекъснато движение на точка по отсечка действително се осъществява такъв процес, тъй като преди да премине цялата отсечка AB, трябва да премине половината ѝ, преди да премине оставащата половина, трябва да премине половината от нея, и т.н. За да достигне точка B, следователно трябва да завърши безкраен, т.е. безкрайно продължаващ процес, в което се състои диалектическата трудност: апорията.

Известният математик Х. Вейл пише в тази връзка: „Ако, в съответствие с парадокса на Зенон, отсечка с дължина 1 можеше да се състави от безкраен брой отсечки с дължина 1/2, 1/4, 1/8,…, взети всяка като отделно цяло, то не е ясно защо някаква машина, способна да премине тези безкрайно много отсечки за крайно време, не би могла да извърши за крайно време безкраен брой актове на решение, давайки, например, първия резултат след 1/2 минута, втория – след 1/4 минута след това, третия – след 1/8 минута след втория и т.н. По този начин би се оказало възможно, в противоречие със самата същност на безкрайното, чисто механично да се разгледа целият ред на естествените числа и напълно да се разрешат всички съответни проблеми на съществуването (като например Голямата теорема на Ферма и други трудни задачи от теорията на числата)“ („За философията на математиката“).

Смисълът на апорията „Стрелата“ се състои в това, че ако времето се състои от неделими „сега“ и всяко тяло винаги или покоява, или се движи, то, тъй като в рамките на неделимото „сега“ тялото не може да се движи (иначе „сега“ би се разделило на части, съответстващи на различните положения на тялото), то във всяко „сега“ то трябва да покоява; а тъй като извън „сега“ в целия времеви интервал няма нищо друго, то тялото изобщо не може да се движи.

Още от Аристотел решенията на тази апория винаги са се състояли в уточняване на понятията за движение и покой. В частност, Аристотел отбелязва, че по отношение на момент от времето не може да се говори нито за движение, нито за покой. Тези понятия имат смисъл само по отношение на интервал от време, в рамките на който тялото може да променя своето място – и тогава то се движи, или да не го променя – и тогава то покоява.

Характерна черта на всички тези решения обаче е обстоятелството, че за да се обоснове непротиворечивостта на движението, в осъществимостта на което никой всъщност не се съмнява, авторите използват допускания за осъществимостта на неща, които очевидно са неосъществими: например, че е възможно (с абсолютна точност) да се улови непротяжен (идеален) момент от времето; че е възможно да се съпостави на всеки такъв идеален момент от времето не по-малко идеална, лишена от всякакви измерения и следователно нематериална точка от пътя; че всяка такава точка може да бъде напълно индивидуализирана чрез „задаване“ с реално число, т.е. без да се смущаваме от факта, че това предполага познаване на цялото безкрайно множество десетични цифри на всяко (от някакво несметно множество) реално число и т.н.

В действителност такива допускания не пречат на научността на теорията само защото последната съдържа начини за нейното крайно приближено тълкуване, което не винаги и при всички условия е приложимо без противоречия. Именно тези начини обаче обикновено не се обсъждат в решенията на диалектическите трудности, свързани с представянето на движението.

Най-обичайният метод за представяне на движението, който широко се използва в т.нар. класическа механика, се състои в указване на начин, който позволява да се съотнесат към всеки момент от времето (от някакъв времеви интервал) координати, определящи мястото на движещата се точка. Този метод обаче не води до формално-логическо противоречие само благодарение на това, че, така да се каже, преместваме едната страна на противоречието извън пределите на нашата теория – оставяме в нея само необходимите идеализирани („огрубени“) допускания и напълно се абстрахираме от несъответствието им с действителното положение на нещата.

Така, от една страна, твърдим, че няма такива (колкото и малки) времеви интервали, които да не могат да бъдат разделени на още по-малки (но все пак също протяжни) времеви интервали, в рамките на които тялото, за движението на което става дума, не е променяло мястото си; от друга страна, си позволяваме да считаме „достатъчно малките“ протяжни времеви интервали за непротяжни „моменти“, т.е. позволяваме си да се абстрахираме от промяната на мястото на тялото (неговото движение) в рамките на тези времеви интервали.

Вярно е, че обикновено добавяме, че като постъпваме така, допускаме грешка, поради което получаваме само приблизителни стойности на интересуващите ни (измерими) величини (дължина на пътя, време на движение, неговата скорост или ускорение и т.н.). Самите тези величини обаче (за разлика от техните „приблизителни“ стойности) обикновено се разглеждат като реално съществуващи идеално точни обекти, без да се смущаваме от факта, че такова „съществуване“ се основава на допускания, които очевидно не считаме за осъществими: никой не се съмнява, че не може да се улови непротяжен „момент“ от времето или да се построи точка, лишена от каквито и да било размери!

В действителност същността на въпроса се състои в това, че „идеално точните“ величини са само огрубено, опростено приближение към това, което искаме да представим с тях – добро приближение, доколкото по този начин се абстрахираме от неяснотата на границите на изследваните обекти или явления и изтъкваме твърдата същност на въпроса: неговото централно, огрубено и спряно („умъртвено“) ядро. Благодарение на това „умъртвяване“ получаваме вече еднозначни отговори на интересуващите ни въпроси: формално-логически противоречия не възникват – поне непосредствено.

До последното обаче стигаме веднага щом се окаже, че огрубяването, върху което е основана нашата идеализация, не е в състояние да ни даде пълна картина на изследваното явление: веднага щом се окажат съществени именно онези негови страни, от които сме се абстрахирали, огрубявайки го. Но и това противоречие отново се разрешава чрез някаква идеализация, която обаче вече не се изгражда на празно място, а на основата на цялото знание, придобито по-рано (включително и с помощта на онези идеализации, чиято неправомерност – в приложението към новите условия – е била разкрита).

В разрешаването на тези отново и отново възникващи противоречия, свързани с представянето на движението (а следователно и със самата му същност), се състои развитието на науката, което само по себе си е процес и следователно носи същия диалектичен характер.

Що се отнася до възражението на противниците на диалектиката, които твърдят, че движението е намирането на тяло в даден момент на дадено място, а в друг момент – на друго място, то това възражение заобикаля самата същност на въпроса: включително въпроса за правомерността на онези допускания за „точки“ и „моменти“, върху които то се основава. Междувременно явната оценка на правомерността на идеализиращите предположения, които позволяват, от една страна, да се отрича реалното съществуване на непротяжни „точки“ и „моменти“, а от друга – да се отъждествяват определени реални събития, случващи се във времето, с „моменти“, както и определени материални тела (като планетите и слънцето в космографията) с „точки“, изясняването на границите на тази правомерност (граници, които са различни при различни условия) придобива особено значение във връзка с развитието на съвременната (особено ядрената) физика и техника. Така се налага, на неизмеримо по-високо ниво на развитие на науката, отново да се върнем към проблематиката, свързана с апориите на Зенон.

Парадоксите на Зенон често се посочват като пример за това как един философски проблем може да бъде решен, дори ако решението му е отнело повече от две хиляди години, за да се материализира.

Парадоксите на Зенон са оказали разнообразно

въздействие върху последващите изследвания

 Днес малко изследвания са насочени директно към това как да се решат самите парадокси, особено в областите на математиката и науката, въпреки че дискусиите продължават в сферата на философията, основно по въпроса дали една непрекъсната величина трябва да бъде съставена от дискретни величини, например дали една линия трябва да бъде съставена от точки. Ако съществуват алтернативни подходи към парадоксите на Зенон, това повдига въпроса дали има едно-единствено решение на парадоксите, няколко решения или едно най-добро решение. Отговорът на въпроса дали Стандартното решение е правилното решение на парадоксите на Зенон може също да зависи от това дали най-добрата физика на бъдещето, която ще обедини теориите на квантовата механика и общата теория на относителността, ще изисква да приемем, че пространствено-времевият континуум е съставен на най-основното си ниво от точки или, вместо това, от региони, контури или нещо друго.

Най-значимият урок, научен от изследователите, които са се опитвали да решат парадоксите на Зенон, е, че изходът изисква преразглеждане на много от старите ни теории и техните концепции. Трябва да сме готови да поставим добродетелите на запазването на логическата последователност и насърчаването на научната продуктивност над добродетелта на запазването на нашите интуиции. Зенон изиграва значителна роля в предизвикването на тази прогресивна тенденция.

РЕШЕНИ ЛИ СА ДНЕС ПАРАДОКСИТЕ НА ЗЕНОН?

Зенон от Елея създава парадокси, чиято цел е да ни изправят срещу собствените ни интуиции: можем ли да мислим промяната като истински процес, ако тя изисква безкрайно делене на пространство и време? В статията си „Zeno meets modern science“ [Зураб Силагадзе](https://arxiv.org/abs/physics/0403123) показва, че въпросите, формулирани преди две хилядолетия и половина, не са обикновен философско-исторически куриоз – те пробождат и съвременната физика.


Парадоксите на Зенон се въртят около четирите стълба на нашето когнитивно преживяване: 
1. Локализация – можем ли да определим обект на точно място? 
2. Движение – ако траекторията е безкрайно делима, завършва ли изобщо движението? 
3. Време – какво означава „момент“, ако между две точки може да има безкрай много други? 
4. Непрекъснатост – истински ли е континуумът, или е удобен модел? 

Силагадзе показва, че математиката и физиката не отговарят по един и същ начин. Математиката успява да изгради кохерентни модели на непрекъснатост, но физиката разкрива, че реалният свят се подчинява на по-дълбоки ограничения: квантовата нелокалност, ограничението на скоростта на светлината, вероятните дискретни структури на пространство-времето. Именно тук зеноновите апории оживяват отново.

–

Математическите „решения“ са елегантни, но достатъчни ли са? 
Първият пласт „разрешение“ се появява с анализа на бескрайните редове: сума от безкрайно много намаляващи сегменти може да даде краен резултат. Това формално обезсилва апориите за „Ахил и костенурката“ или „Дихотомията“. Но Силагадзе предупреждава: математическото доказателство не е доказателство за онтологично. Във физиката не сме сигурни дали пространството и времето са действително безкрайно делими. Затова казваме, че математика предлага логическа консистентност, а не онтологична гаранция.

–

Парадоксът на локализацията:
В раздела за [парадокса на Банах–Тарски](https://plato.stanford.edu/entries/paradox-banach-tarski/) Силагадзе демонстрира как аксиомата на избора, допускането, че можем да избираме представител от всяко множество, води до резултати, които крещят срещу „здравия разум“. Ако една сфера може да бъде разбита на ограничен брой парчета и да се сглоби в друга с различен обем, тогава „дължината“ и „обемът“ не са фундаментални.

–

Квантовият ефект на Зенон 
В квантовата механика парадоксите придобиват експериментална плът. Квантовият Зенонов ефект показва, че едно състояние може да бъде „замразено“, ако го измерваме достатъчно често – точно както стрелата. Обратното явление – анти-Зеноновият ефект – ускорява разпада. И двете са реално измерени явления ([Raizen et al. 2001](https://journals.aps.org/prl/abstract/10.1103/PhysRevLett.87.040402)). 
Дори ако математически движение е възможно, начинът, по който го наблюдаваме, може да го забави или ускори. Парадоксът не е само игра на думи – той описва физически ефект.

–

Зеноновите сценарии са първата форма на „суперзадачи“ – изпълнение на безкрайно много действия за краен интервал. Силагадзе представя модерни версии: 
– Суперзадачата на Pérez Laraudogoitia – безкрайна редица от идентични маси може да спре падащо топче без да нарушава локалните закони за енергия. 
-„Devil’s Bargain“- където демонът с безкрайно много размени лишава човека от всички банкноти, въпреки че всяка размяна е „печеливша“. 

Тези конструкции показват, че класическият детерминизъм всъщност не е толкова непоколебим.


–

Проблемът за времето
Най-радикалното следствие от анализа на Силагадзе е възкръсването на парменидовото „времето е илюзия“. В квантовата гравитация уравненията (напр. Wheeler–DeWitt) губят параметъра „t“. Времето не е външен фон; то е вътрешно отношение между полета. Ако това е вярно, тогава ставането е емергентно, също както и класическият континуум. Zеноновата стрела става не „замръзнала в момента“, а „момент“ става безсмислена категория. 
Въпросът „движи ли се стрелата“ става въпрос „има ли въобще фундаментално време“, на което науката още няма окончателен отговор.


Можем ли да кажем, че парадоксите „не са решени“? 


Разграничението между логическо и онтологично решение е ключово: 
Логически: математиката показва, че безкрайно деление е съвместимо с крайна дължина. 
Физически: има индикации, че природата си налага граници (Комптонова дължина, Планкова скала, декохеренция). 
Философски: въпросът за това дали „движението“ като метафизичен процес е реален, остава отворен. 

Следователно е добре именно да твърдим, че „математическите решения“ са консистентни модели, но не задължително окончателни описания на реалността. Така парадоксите на Зенон не са „решени“ в смисъла на една-единствена истина; те са интегрирани в нашите теории като тест за техните граници.


Зенон не е решен – и това е добре. Съвременната наука не ги отхвърля, а ги препрочита. В квантовата механика виждаме, че измерването променя движението; в теорията на информацията – че номинално „изгодните “ сделки водят до загуба; в космологията – че времето може да е производно. 

–

Източници и допълнителна литература 


– [Z.K. Silagadze, “Zeno meets modern science”](https://arxiv.org/abs/physics/0403123) 
– [M.C. Fischer, B. Gutierrez-Medina, M.G. Raizen, “Observation of the Quantum Zeno and Anti-Zeno Effects in an Unstable System”](https://journals.aps.org/prl/abstract/10.1103/PhysRevLett.87.040402) 
– [Stanford Encyclopedia of Philosophy: “Zeno’s Paradoxes”](https://plato.stanford.edu/entries/paradox-zeno/) 
– [Stanford Encyclopedia of Philosophy: “The Banach–Tarski Paradox”](https://plato.stanford.edu/entries/paradox-banach-tarski/) 
– Rovelli, C. *Quantum Gravity*. Cambridge University Press, 2004.